【高野・大谷研究室】「包む音/取り巻く音」

 

極座標系における内部問題の一般解

角周波数$\omega$ [rad/s]の純音を一定の振幅で発する波源によって励振される２次元平面上の音圧$p$ [Pa]について考える。ただし，波源は原点から十分遠くに位置している（内部問題[1]）と仮定する。 音圧$p$に対し，直交座標系における２次元波動方程式

 

が成り立つ。ただし，$c$ [m/s]は音速である。直交座標系におけるラプラシアンと極座標系におけるラプラシアンの関係式

 

より，極座標系での２次元波動方程式は，

 

と書ける。ただし，$(x,y)=(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )$である。図1は直交座標系と極座標系の幾何的関係を示している。

式(3)で，$p=Q(r,\varphi )T\left(t\right)$と変数分離すると，

 

上式の両辺を$QT$で割ると，

変数$(r,\varphi )$と$t$は独立であり，上式の左辺と右辺はそれぞれ$(r,\varphi )$と$t$のみに依存するため，両辺定数である。 まず時間$t$のみに依存する式の右辺について考える。$C_t$を定数として，

 

いま角周波数$\omega$の純音による音場を考えているので，$T\left(t\right)$の基本解は，$e^{i\omega t}$と$e^{-i\omega t}$である。これらの基本解はそれぞれ，ある方向から到来する波・ある方向へと伝播する波に対応する解の時間項となっている。 これらを式に代入すると，

ただし，$k$ [rad/m]は波数である。 式を用いて，式は

と書き直すことができる。$Q=R\left(r\right)\Phi \left(\varphi \right)$とさらに変数分離すると，

上式の両辺に$r^2/R\Phi$を掛けて整理すると，

変数$r$と$\varphi$は独立で，上式の左辺と右辺はそれぞれ$r$と$\varphi$のみに依存するため，両辺定数である。 偏角のみに依存する式の右辺を考える。$C_{\varphi }$を定数として，

ここで，$\Phi \left(\varphi \right)=\Phi (\varphi +2\pi )$が成り立つことが必要である。なぜなら，時間$t$と原点からの距離$r$が一定のとき，２次元平面上の音圧$p$は偏角を$2\pi$回転させても不変のはずである。さもなくば，音圧が不連続になってしまう。以上の議論より，$n$を非負整数として，$e^{in\varphi }$と$e^{-in\varphi }$を式の基本解として採用する。これらの基本解を式に代入すると，

 

式を用いると，式は，

と書き直すことができる。この式の両辺に$R$を掛けて整理すると，

ここで，変数$\tilde{r}=kr$についての関数を$\tilde{R}\left(\tilde{r}\right)=R\left(r\right)$となるように定める。合成関数の微分に注意しながら式の$R$に$\tilde{R}$を代入すると，

これはベッセルの微分方程式[2]である。$n$が整数の場合の基本解としてベッセル関数$J_n\left(\tilde{r}\right)$とノイマン関数$Y_n\left(\tilde{r}\right)$がある。しかしノイマン関数は$\tilde{r}=0$において無限大となる。したがって，式の基本解としてベッセル関数$J_n\left(\tilde{r}\right)$とをここでは採用する。ベッセル関数は次式で定義される[2]。

ただし，$\Gamma (\cdot )$はガンマ関数で，非負整数$n$に対し$\Gamma (n+1)=n$である。ベッセル関数は，整数について次の関係が成り立つ[2]。

ここまでに導出した基本解を用いて，極座標系における波動方程式の一般解を求めることもできるが，変数に関する解$\Phi \left(\varphi \right)=e^{in\varphi },e^{-in\varphi }$の代わりに円調和関数

を用いる。円調和関数は，以下のような正規直交性をもつ。

ただし，$[\cdot {]}^{\ast }$は複素共役，$m,m^{\prime }$は整数，${\delta }_{m{m}^{\prime }}$はクロネッカーのデルタである。 解として円調和関数をわざわざ用いる理由は，３次元次元波動方程式の球座標系における解（特に球面調和関数）との一貫性を持たせるためである。以上より，極座標系における２次元波動方程式の内部問題の一般解は，

ただし，$Z_{\ge 0}$は非負整数全体の集合，$A_n,B_n,C_n,D_n$はベッセル関数と円調和関数の次数$n$に依存する任意定数である。次章では，内部問題の中でも特に波源が平面波を発する状況を考え，式の任意定数を具体的に求める。

 

平面波入射音場の円調和関数展開

原点から十分遠くに位置する波源が一定の振幅で角周波数$\omega$の平面波を発するとき，原点近傍の平面波入射音場$p_{in}$は，ベクトルを用いて

と表される。ただし，$a$は平面波の振幅，$\psi$[rad]は時刻$t=0$のときの原点での平面波の位相，は位置ベクトルである。$\tilde{k}=k\tilde{n}$は波数ベクトルで，$\tilde{n}$は平面波の到来方向を指す単位ベクトルである。これ以降，簡単のために，$\psi =0$とする。 ベクトルで表現された式の解を極座標系での表現に書き改める。すなわち，$r=(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )$，$\tilde{k}=(k\cos {\varphi }_{in},k\sin {\varphi }_{in})$として式に代入すると，

ただし，${\varphi }_{in}$ [rad]は平面波の到来方向である（図2）。

式(20)と式(22)を比較して，任意定数を求める。式(22)には$e^{-i\omega t}$の項が無いので，$C_n=D_n=0$である。したがって，

両辺を$e^{i\omega t}$で割ると，

まず，$n=0$の場合について考える。このとき，$y_n=y_{-n},J_n=J_{-n}$であるため，$B_0=0$として$A_0$だけについて考えれば良い。式の両辺に$\left[y_0\right(\varphi ){]}^{\ast }=1/\sqrt{2\pi }$を掛けて，についてからまで積分すると，円調和関数の正規直交性(19)より，

$J_0\left(0\right)=1$より，式に$r=0$を代入すると，

次に，ある正の整数についての係数を考える。式の両辺に$\left[y_m\right(\varphi ){]}^{\ast }=e^{-im\varphi }/\sqrt{2\pi }$を掛けて，式を導いたときと同様の操作をすると，

$A_0$を求めたときと同様に$r=0$を代入すると，$J_m\left(0\right)=0$となり，上手くいかない。そこで，両辺をに関して階微分してから$r=0$を代入する。まず左辺について，式(16)より，

$r=0$のとき，右辺のの項は全てゼロになるので，

次に式の右辺の被積分関数のに関する階微分を，オイラーの公式と二項公式を用いて展開すると，

 

$k\ne m$の項は積分するとゼロになるので，

式，，より，

最後に，正の整数に対する係数$B_m$を考える。式の両辺に$\left[y_{-m}\right(\varphi ){]}^{\ast }=e^{im\varphi }/\sqrt{2\pi }$を掛けてから，式を導いたときと同様の操作と式(17)により，

まず左辺について$r$に関して階微分する。式の結果を利用することにより，

次に式の右辺の被積分関数のについての階微分は，式での計算を利用して，

$k\ne 0$の項は積分するとゼロになるので，

式，，より，

式，，，をまとめると，時間項を除いた平面波入射音場の円調和関数展開は，

と表される。ただし，は整数全体の集合である。$p_0=|p_0|e^{i\psi }$は到来平面波の複素振幅で，$|p_0|$と$\psi$はぞれぞれ平面波の振幅と原点での位相を表している。 現実には，式のような整数全体についての和を計算することは不可能であるため，以下のように適当な範囲で無限和を打ち切る必要がある。

ただし，${\sum }_{|\ell |\le L}$は絶対値が$L\in Z_{\ge 0}$以下の整数について和をとることを意味する。また，を打ち切り次数と呼ぶ。例として，波数$k=10$，平面波の到来方向${\varphi }_{in}=\pi /4$，複素振幅$p_0=1$，打ち切り次数$L=7$とした場合の$p_{in}(r,\varphi )$の実数部を図3に示す。

おわりに

本稿は，極座標系における内部問題の一般解と平面波入射音場の円調和関数展開の導出過程を明らかにした。これらの理論は室内音場の分析や音場再現の研究を遂行する上で必須である。本稿の内容がこれらの研究分野に関心のある読者にとって，有益であることを願う。 最後に，私からの質問にメールで丁寧な回答をしていただいた電気通信大学の任逸さん，本稿の掲載に関わって下さった編集委員の皆様に感謝します。

 

1. E. G. Williams, 吉川茂, 西條献児. フーリエ音響学: 音の放射と近距離場音響ホログラフィの基礎. (シュプリンガー・フェアラーク東京, 東京, 2005) \\ 2. J. Mathews and R. L. Walker. Mathematical methods of physics. (W. A. Benjamin, Inc., New York, 1964)